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2006年3月 2日 (木)

1/110+1/132…+1/380=?

今日は、こちらにコメントくださる数名の方も交えた飲み会がありました。そんなわけで、感想とか難しいことは抜きにして、算数クイズでも出して終わりにしたいと思います(^^;

1/110 + 1/132 + 1/156 +…+ 1/342 + 1/380 = ?

数年前に、娘が「これ、わかんな~~~い」と言うので、どれどれと問題集を見たら、算数の基本問題が解けていない。あれれ基本問題がわからないの?…と思いつつ自分で解いて教えようと思ったのに、一晩考えても分からなかったんですね。これが…(^^;

それで会社に持って行って、昼休みに周りにいた人に聞いてみたんですが、有名国立大学・私立大学の理系を卒業している人たちでも昼休み中に解けず、数名は就業時間まで持ち越して考えていたみたい(^^;。数時間後、解けたよ~と式と答えをもらって、そうだね、確かにこの式だと正解になるね、と思っても、とても小学生の基本問題ではないのです。

そうしたら、某ブレイングループのリーダーの方が、「それは中学受験では有名な問題だから、経験した親なら知ってるよ!」(どきっ(^^;)と、すらすら解いてくれました。まさしくそれは、解き方さえわかれば暗算でもできる『基本問題』でした(^^;。ちなみに答えはこれです→【1/20】。皆様ご存知でしたか?

追記:3月3日ひなまつりの夜に

式も白字でここに↓書いておきますね。なるほど~、でもそんなのテスト中に思いつかないよ~って思いますよ、きっと(笑)
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1/110 = 1/10 - 1/11と置き換えます。するとこれは
(1/10 - 1/11) + (1/11 - 1/12) + (1/12 - 1/13) .... + (1/19 - 1/20)
と置き換えられるので、結局は『1/10 - 1/20 』となり、1/20が正解です。
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武蔵野☆徒然日記」カテゴリの記事

コメント

これ、中学入試問題なんですね。
小学生に戻って考えよう・・・・。
も、戻れない(爆)

小学生のとき、よく、こういう問題、
絶対、答えもヒントも聞かずに、
ずーっと考えたなぁ・・・遠い目。

というわけで、十数分では思いつかない(大爆)

「小学生」「暗算」がヒントですねぇ・・・(爆)

出来ました。

意外に「安産」でした(汗)
でも、最初の「ひとひねり」が、算数が好きでないと
だめかもしれません。

さ、仕事します(大爆)

どうみても単純な答えの問題なのに、30分悪戦苦闘してでた答えが、
53811/1053360(爆)(恥)
降参して答えをみて、ほうほうなるほど、
では、とやりはじめてもその答えがでない(涙)
あれこれこねくりまわして、なんとかできましたが、
「暗算」には程遠い途中経過でして・・・(^_^;)
(490*5)/49000=答え
なんですけど、どこがおかしかったのでしょう?
どなたかご指摘お願いしますm(__)m

たびたびすみません。
「暗算」をキーワードに晩ご飯の後また考えました(笑)
72/360=答え
これでよかったんでしょうか・・・不安。
共通一次5教科7科目を突破しただんなにも
挑戦させたいと思います。やってくれるかなあ(笑)

挑戦してくださってありがとう!!!

>ゆうささま
私は答えを見ても導けなかったんですけど(^^;
導けたなんて、すごいですね~~。”あんざん”ね(爆)

>絢子さま
自力で出来たなんてすごいわ~。私は他力本願でしたから(爆)
ちなみに、今娘に聞いてみたら、すっかり忘れていました(^^;

ということで、追記として式も書いておきました(^^)/

暗算では出来ませんでしたが(^^;)
式は導き出せました。
これは、算数と言うより頭の体操ですね

>人名長者さま
そうそう!だからとっても印象に残っているし、
クイズって雰囲気だなぁと思って、ここで紹介してみることにしました。
本当に柔軟な頭を持っていらっしゃるのですね!さすが~。

式のアップありがとうございます~(^^)
数式って美しい!
ハヤカワ文庫のアシモフの科学エッセイ読んでるみたい。

しかし分母同士の引き算をして、10個の分数をつくり、
1/210、1/240の分母差が30だから、
分母差の平均値をだして、
分母を90、120、150、180、・・・・300、360、と
つくりかえて、分母の最大公約数が3600、
で、(30*4)/3600+(30*5)/3600・・・
=720/3600=1/20・・・なんだかなあ(^_^;)
こんな悠長なことしてたら、試験時間終わっちゃいますよねえ。

あ。
正解の式は、美しいですねっ。

僕は、1/2にしてから、
強引に、数列を導きだして、
その分母の、公約数(かな?)で
順番に計算してしまいました。

数学の解法というのは、いろいろ道順があって
一旦説くと、きれいな解法がみえてくるのは
快感ですね。

とりあえず、解いたあと、送別会に行ったので
美しい解法まで、たどりつけなかった。
くやしい。

・・・・
悔しい、と思うのは(爆)、やっぱり理系の性です。

みゆさんの職場で、みんなが、仕事ほっぽり出して
数字みつめる気持ちがよくわかります(笑)

今、右手で字が書けないので、左手で書いていて、
ところが、左手で数字書けても、
脳は左ですから、全然計算できないのです(爆)
だから、ワープロで書いて解きました。
その過程は下記のとおりです。
やってみて、ああ、数式って美しい、と
久しぶりに感激しました。
雪穂さんありがとう(爆)

ふと思ったのですが、
問題作るかたって、頭の中、美しいですねっ。

1/110+1/132+1/156+ ・・・+1/342+1/380=

1/2 (1/55 + 1/66 + 1/78 + 1/91 + 1/105 + 1/120 + 1/136 + 1/153 + 1/171 + 1/190 )

(1/11x5 + 1/11x6 + 1/13x3x2 + 1/13x7 + 1/7x5x3 + 1/2x2x2x3x5

1/17x2x2x2 +1/17x3x3 + 1/19x3x3 +1/19x5x2 )

1/11x5 + 1/11x6 = 1/11(1/5 +1/6)=1/11(5+6/30)=1/11(11/30)=1/30

1/13x6 + 1/13x7 =1/13(1/6+1/7)=1/13(13/42)=1/42

1/15x7+ 1/15x8 =1/15 (1/7+1/8)=1/15(15/56)=1/56

1/17x8 + 1/17x9 = 1/17(1/8+1/9)=1/17(8+9/72)=1/17(17/72)=1/72

1/19x9 + 1/19x10 =1/19(1/9+1/10)=1/19(9+10/90)=1/90

1/2 (1/5x6 + 1/6x7 + 1/7x8 + 1/8x9 + 1/9x10)

1/6(1/5+1/7)=1/6(5+7/5x7)=1/6(12/5x7)=2/5x7

2/5x7 + 1/7x8 = 1/7(2/5+1/8)=1/7(16+5/5x8)=3/5x8

3/5x8 + 1/8x9 =1/8(3/5 + 1/9)=1/8(27+5/5x9)=1/8(32/5x9)=4/5x9

4/5x9 + 1/9x10 =1/9(4/5+1/10)= 1/9(40+5/5x10)=5/5x10=1/10

1/2(1/10)=1/20

あー、難しく考えすぎて答が導けませんでした><;;

分母の数列の差を取って階差数列を作ると
22, 24, …
と等差数列になるから、ここから何かヒントを得ようとして自爆しました。。。

でも、面白い法則ですね。
「数列の一般項が n(n+1) であるとき、
その階差数列は 2n+2 で、等差数列である。」

>ゆうささま、絢子さま
ね~美しいですよね!とても自分じゃ考えつかない(爆)
皆さん、がんばって解いて下さってうれしいわ(^^)/
110=10x11, 132=11x12ということには気づいても、それを積ではなく
”+-で2項に分ける”というのは発想の転換だと思います~。

>でごさま
そうそう、大人ってなまじっか知識があるから、
余計なことを考えてしまうのだと思うわ(^^;。
小学生だと限られた知識で考えるから、できる子はできるのでしょうね…。

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